Insieme denso

N'insieme $S\in X$, 'ndoe che $X$ el xe un spassio topołogico, el se dixe denso so $X$ se ogni ponto $x\in X$ el sta anca in $S$ o 'l xe ponto d'acumulassion par $S$.

Definission conpagne

A seconda de ła strutura de $X$ ghe xe on fià de definission conpagne.

X spassio mètrico

Se $X$ el xe un spassio mètrico, eora $S$ el xe denso so $X$ se (e soło se) $\bar{S}=X$.

X spassio normà

Se $X$ el xe un spassio normà (overo un spassio vetoriałe cò na norma $\Vert \cdot \Vert$), eora $S$ el se dixe denso so $X$se vałe una de ste dò (che łe xe conpagne):

• $\mathrm{\forall }x\in X,\mathrm{\forall }ϵ>0\mathrm{\exists }s\in S$ t.c. $\Vert x-s\Vert <ϵ$ ;
• $\mathrm{\forall }x\in X\mathrm{\exists }\{s_i{\}}_{i\in \mathbb{N}}\in S$ t.c. $s_i⟶x$ .

Se invese ghemo na serie $S_0\subset S_1\subset ...$ de sotinsiemi de $X$ (cò $S_0\ne \varnothing$), eora se mostra che $E_n(x):=\underset{s_n\in S_n}{\inf }\Vert x-s_n\Vert ⟶0\mathrm{\forall }x\in X$ se e soło se $\bigcup _{n\in \mathbb{N}}{S}_n$ el xe denso so $X$.

Exenpi

$\bar{\mathbb{Q}}=ℝ$ inte ła topołogia euclidea, cussita $\mathbb{Q}$ el xe denso so $ℝ$.

Łe funsion continue so n'intervało $[a,b]\subset ℝ$ se poe scrivare fà limiti uniformi de na serie de połinomi, cussita $\bigcup _{n\in \mathbb{N}}{\mathbb{P}}_n$ el xe denso so $(𝒞([a,b]),\Vert \cdot {\Vert }_{\mathrm{\infty }})$ . Modeło:Interprojeto Modeło:Controło de autorità