Połinomi ortogonałi

Sipia dà un spassio de Hilbert

$L_w^2((a,b),\Vert \cdot {\Vert }_w):=\{f$ misuràbiłe tc $\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x){|}^{2}w(x)dx<+\mathrm{\infty }\}$

co el prodoto scałare

$(f,g{)}_{2,w}:=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\cdot g(x)w(x)dx$

e sipia $w:(a,b)\to {ℝ}^{\ge 0}$ na funsion péxo, o sia tc

• $\underset{a}{\overset{b}{\int }}w(x)|x{|}^{n}dx<+\mathrm{\infty }\mathrm{\forall }n$;
• $\underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)w(x)dx=0$ par $g:(a,b)\to {ℝ}^{\ge 0}$ continua $\Rightarrow g\equiv 0$ in $(a,b)$.

Na famèja triangołare de połinomi $\{{\varphi }_k{\}}_{k=0,...,n}$ ('ndoe che $\mathrm{deg}({\varphi }_k)=k$) se dixe ortogonałe par $w$ se

$({\varphi }_i,{\varphi }_j{)}_{2,w}=a_i{\delta }_{i}j$ cò $a_j>0$.

Exenpio

La famèja ${\mathbb{P}}_n$ dei połinomi de grado finìo ła sta drento lo spassio de sòra par tuti i $n\in \mathbb{N}$.
De fati $p_n\in {\mathbb{P}}_n\Rightarrow p_n=\sum _{k=0}^n{a}_k{x}^k\Rightarrow \Vert p{\Vert }_{2,w}=\Vert \sum _{k=0}^n{a}_k{x}^k\Vert \le \sum _{k=0}^n|a_k|\Vert x^k\Vert$, che xe finìo parchè $\Vert x^k{\Vert }_{2,w}^2=\underset{a}{\overset{b}{\int }}|x{|}^{2k}{x}^{k}dx<+\mathrm{\infty }$ par tute łe $k=0,...,n$.
Fissà $f\in L_w^2(a,b)$ e $n\in \mathbb{N}$, el problema dei minimi quadrati el diventa: càta fora el $p_n$ che rende pì ceo possìbiłe $\Vert f-p_n{\Vert }_{2,w}=\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x)-p_n(x){|}^{2}w(x)dx$.
Cò Gram-Schmit semo boni de catarse na famèja de połinomi ortogonałi ${\varphi }_0,...,{\varphi }_n$, che poe far da baxe ortonormałe de ${\mathbb{P}}_n$.
Xe inportante notare che cussita ghemo che $({\varphi }_{n+1},p_n{)}_{2,w}=0$. Modeło:Controło de autorità