Quadradura numèrica

Modeło:O Ón clasico problema de l'anałisi numèrica xe queło de stimare $I_w(f)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)w(x)dx$ , 'ndoe che $w$ xe na funsion péxo e sensa che se gabia da passar par ła primitiva de l'integranda.

Formuła de quadradura interpołatoria

Sia dài:

• $(a,b)$ intervało de integrassion;
• $x_1,...,x_N$ insieme de punti deti nodi;
• $f\in {𝒞}_N([a,b])$ funsion $w$-intergrabiłe.

Eora ghe xe $p_{N-1}(x)=\sum _{i=0}^N{L}_i(x)f(x_i)$, połinomio de Lagrange che interpoła łe copie $(x_i,f(x_i))$, par cui $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)w(x)dx\approx \underset{a}{\overset{b}{\int }}{p}_{N-1}(x)w(x)dx=\sum _{i=1}^N(\underset{a}{\overset{b}{\int }}{L}_i(x)w(x)dx)f(x_i)\Rightarrow w_i=\underset{a}{\overset{b}{\int }}{L}_i(x)w(x)dx$.
Xe sto punto naturałe ciamare interpołatoria la forumuła de quadradura $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)w(x)dx\approx \sum _{i=1}^N{w}_{i}f(x_i)$ par cui $w_i=\underset{a}{\overset{b}{\int }}{L}_i(x)w(x)dx$.

Grado de precision

Se dixe che na formuła de quadradura $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x_i)w(x)dx=\sum _{i=1}^N{w}_{i}f(x_i)$ ga grado de precision $N$ (da qui invanti "g.d.p.") se e soło se la xe exàta par tuti quanti i połinomi de grado $N$, ma no la xe par almanco uno dei połinomi de grado $N+1$.

Na formula de quadradura de quadradura xe interpołatoria se e soło se ga g.d.p. almanco $N-1$.

Formułe de Newton-Cotes

Na famèja particołare de forumłe de quadradura interpołatorie xe queła de łe formułe de Newton-Cotes.

Formułe de Newton-Cotes saràe

Sia dà $[a,b]\subset ℝ$. Na formuła $S_N(f)=\sum _{i=1}^N{w}_{i}f(x_i)$ tałe che $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)d(x)\approx S_N(f)$ se dixe de Newton-Cotes sarà se:

1. i nodi i xe distanti conpagni: $x_i=a+\frac{(i-1)(b-a)}{N-1}i=1,...,N$ ;
2. i péxi i xe $w_i=\underset{a}{\overset{b}{\int }}{L}_i(x)dxi=1,...,N$, ndoe che $L_i(x)=\prod _{j=1,j\ne i}^M\frac{x-x_j}{x_i-x_j}$ .

Quindi łe formule de Newton-Cotes łe xe interpołatorie cò grado de precision almanco $N-1$ .

Exenpi

Qua basso dei exenpi de formułe de Newton-Cotes saràe, ndoe che $f_i=f(x_i)$, $h=\frac{b-a}{N}$ e $\xi \in (a,b)$.

N	Nome	Formuła	Erore	g.d.p.
$2$	Regoła del trapesio	$\frac{h}{2}(f_0+f_1)$	$-\frac{h^3}{12}{f}^{(2)}(\xi )$	$1$
$3$	Cavalieri-Simpson	$\frac{h}{3}(f_0+4f_1+f_2)$	$-\frac{h^5}{90}{f}^{(4)}(\xi )$	$2$

Formułe de Newton-Cotes conposte

Coe formule de Newton-Cotes saràe se podaria ndar vanti fin a $N=7$, ma par $N\ge 8$ se vede che vegnarìa fora péxi negadivi, che rendarìa no-stabiłi ste formułe.
Par sistemar sto problema se poe doparar łe formułe conposte, che migliorarà la situasion anca par $N$ pì bassi (el g.d.p. xe senpre queło, ma i péxi i xe pì cei).
Sia dà $[a,b]\subset ℝ$, lo "tajemo" in $N$ tochi pì cei: $T_j:=[x_j,x_{j+1}]$ ndoe che $x_j=a+j\cdot \frac{b-a}{N}$.
L'integrałe el xe lineare, cussita $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)w(x)dx=\sum _{j=0}^{N-1}\underset{x_j}{\overset{x_{j+1}}{\int }}f(x)w(x)dx\approx \sum _{j=0}^{N-1}S(f,x_j,x_{j+1})$, ndoe che $S$ ła xe na regoła de quadradura. Dałe formułe de Newton-Cotes saràe vien fora łe formułe de Newton-Cotes conposte.

Exenpi

Qua basso dei exenpi de formułe de Newton-Cotes conposte, ndoe che $f_i=f(x_i)$, $h=\frac{b-a}{N}$ e ${\xi }_k\in (x_k,x_{k+1})$.

Nome	Formuła	Erore	g.d.p.
Regoła del trapesio conposta	$h(\frac{f_0}{2}+f_1+f_2+...+f_{N-1}+\frac{f_N}{2})$	$-\frac{h^3}{12N^3}\sum _{k=0}^{N-1}{f}^{(2)}({\xi }_k)$	$1$
Cavalieri-Simpson conposta	$\frac{h}{6}(f_0+2\sum _{m=0}^{N-1}{f}_{2m}+4\sum _{m=1}^{N-1}{f}_{2m+1}+f_{2N})$	$-\frac{h^{5}N}{180}\sum _{k=0}^{N-1}{f}^{(4)}({\xi }_k)$	$2$